第一题 百钱买百鸡

作者：一线码农

百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，

用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，那么我们 

  1.       可以得出如下的不定方程， 
  3.       x+y+z=100, 
  5.       5x+3y+z/3=100， 
  7.      下面再看看x，y，z的取值范围。 
  9.      由于只有100文钱，则5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y， 
  11.      好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。 

  1. class Program
  2.     {
  3.         static void Main(string[] args)
  4.         {
  5.             //公鸡的上线
  6.             for (int x = 1; x < 20; x++)
  7.             {
  8.                 //母鸡的上线
  9.                 for (int y = 1; y < 33; y++)
  10.                 {
  11.                     //剩余小鸡
  12.                     var z = 100 - x - y;
  13.  
  14.                     if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))
  15.                     {
  16.                         Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
  17.                     }
  18.                 }
  19.             }
  20.             Console.Read();
  21.         }
  22.     }

第一题 百钱买百鸡 - 图1

结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让

人接受的是O(N)。

所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里

来，肯定需要我们推算一下这个不定方程。 

  1.  x+y+z=100          ① 
  3.  5x+3y+z/3=100    ②

令②x3-① 可得 

  1.  7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x ③

又因为0<y<100的自然数，则可令 

  1.   x=4k                    ④

将④代入③可得

=> y=25-7k ⑤

将④⑤代入①可知

=> z=75+3k ⑥

要保证0<x，y，z<100的话，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码。 

  1. class Program
  2.     {
  3.         static void Main(string[] args)
  4.         {
  5.             int x, y, z;
  6.  
  7.             for (int k = 1; k <= 3; k++)
  8.             {
  9.                 x = 4 * k;
  10.                 y = 25 - 7 * k;
  11.                 z = 75 + 3 * k;
  12.  
  13.                 Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
  14.             }
  15.  
  16.             Console.Read();
  17.         }
  18.     }

第一题 百钱买百鸡 - 图2

这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错，起码优化到了我能接受的范围内，或许我们感觉到了数学的魅力，是的，因为….

数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了…

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