第十五题 并查集

这一篇我们看看经典又神奇的并查集，顾名思义就是并起来查，可用于处理一些不相交集合的秒杀。

一：场景

有时候我们会遇到这样的场景，比如:M={1,4,6,8},N={2,4,5,7}，我的需求就是判断{1,2}是否属于同一个集合，当然实现方法 

有很多，一般情况下，普通青年会做出O(MN)的复杂度，那么有没有更轻量级的复杂度呢？嘿嘿，并查集就是用来解决这个问题的。

二：操作

从名字可以出来，并查集其实只有两种操作，并(Union)和查(Find)，并查集是一种算法，所以我们要给它选择一个好的数据结构，

通常我们用树来作为它的底层实现。

1.节点定义

2.Union操作

<1>原始方案

   首先我们会对集合的所有元素进行打散，最后每个元素都是一个独根的树，然后我们Union其中某两个元素，让他们成为一个集合， 

最坏情况下我们进行M次的Union时会存在这样的一个链表的场景。

从图中我们可以看到，Union时出现了最坏的情况，而且这种情况还是比较容易出现的，最终导致在Find的时候就相当寒酸苦逼了，为O(N)。

<2> 按秩合并

 我们发现出现这种情况的原因在于我们Union时都是将合并后的大树作为小树的孩子节点存在，那么我们在Union时能不能判断一下， 

将小树作为大树的孩子节点存在，最终也就降低了新树的深度，比如图中的Union(D,{E,F})的时候可以做出如下修改。

可以看出，我们有效的降低了树的深度，在N个元素的集合中，构建树的深度不会超过LogN层。M次操作的复杂度为O(MlogN)，从代

码上来说，我们用Rank来统计树的秩，可以理解为树的高度，独根树时Rank=0，当两棵树的Rank相同时，可以随意挑选合并，在新

根中的Rank++就可以了。

#region 合并两个不相交集合
        /// <summary>
        /// 合并两个不相交集合
        /// </summary>
        /// <param name="root1"></param>
        /// <param name="root2"></param>
        /// <returns></returns>
        public void Union(char root1, char root2)
        {
            char x1 = Find(root1);
            char y1 = Find(root2);
 
            //如果根节点相同则说明是同一个集合
            if (x1 == y1)
                return;
 
            //说明左集合的深度 < 右集合
            if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)
            {
                //将左集合指向右集合
                dic[x1].parent = y1;
            }
            else
            {
                //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++
                if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)
                    dic[x1].rank++;
 
                dic[y1].parent = x1;
            }
        }
        #endregion

3.Find操作

我们学算法，都希望能把一个问题优化到地球人都不能优化的地步，针对logN的级别，我们还能优化吗？当然可以。 

<1>路径压缩

  在Union和Find这两种操作中，显然我们在Union上面已经做到了极致，下面我们在Find上面考虑一下，是不是可以在Find上运用 

伸展树的思想，这种伸展思想就是压缩路径。

从图中我们可以看出，当我Find(F)的时候，找到“F”后，我们开始一直回溯，在回溯的过程中给，把该节点的父亲指向根节点。最终

我们会形成一个压缩后的树，当我们再次Find(F)的时候，只要O(1)的时间就可以获取，这里有个注意的地方就是Rank，当我们在路

径压缩时，最后树的高度可能会降低，可能你会意识到原先的Rank就需要修改了，所以我要说的就是，当路径压缩时，Rank保存的就

是树高度的上界，而不仅仅是明确的树高度，可以理解成"伸缩椅"伸时候的长度。

#region  查找x所属的集合
        /// <summary>
        /// 查找x所属的集合
        /// </summary>
        /// <param name="x"></param>
        /// <returns></returns>
        public char Find(char x)
        {
            //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素
            if (dic[x].parent == x)
                return x;
 
            //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)
            return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
        }
        #endregion

我们注意到，在路径压缩后，我们将LogN的复杂度降低到Alpha(N)，Alpha(N)可以理解成一个比hash函数还有小的常量，嘿嘿，这

就是算法的魅力。

最后上一下总的运行代码：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
 
namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            //定义 6 个节点
            char[] c = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };
 
            DisjointSet set = new DisjointSet();
 
            set.Init(c);
 
            set.Union('E', 'F');
 
            set.Union('C', 'D');
 
            set.Union('C', 'E');
 
            var b = set.IsSameSet('C', 'E');
 
            Console.WriteLine("C,E是否在同一个集合:{0}", b);
 
            b = set.IsSameSet('A', 'C');
 
            Console.WriteLine("A,C是否在同一个集合:{0}", b);
 
            Console.Read();
        }
    }
 
    /// <summary>
    /// 并查集
    /// </summary>
    public class DisjointSet
    {
        #region 树节点
        /// <summary>
        /// 树节点
        /// </summary>
        public class Node
        {
            /// <summary>
            /// 父节点
            /// </summary>
            public char parent;
 
            /// <summary>
            /// 节点的秩
            /// </summary>
            public int rank;
        }
        #endregion
 
        Dictionary<char, Node> dic = new Dictionary<char, Node>();
 
        #region 做单一集合的初始化操作
        /// <summary>
        /// 做单一集合的初始化操作
        /// </summary>
        public void Init(char[] c)
        {
            //默认的不想交集合的父节点指向自己
            for (int i = 0; i < c.Length; i++)
            {
                dic.Add(c[i], new Node()
                {
                    parent = c[i],
                    rank = 0
                });
            }
        }
        #endregion
 
        #region 判断两元素是否属于同一个集合
        /// <summary>
        /// 判断两元素是否属于同一个集合
        /// </summary>
        /// <param name="root1"></param>
        /// <param name="root2"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool IsSameSet(char root1, char root2)
        {
            return Find(root1) == Find(root2);
        }
        #endregion
 
        #region  查找x所属的集合
        /// <summary>
        /// 查找x所属的集合
        /// </summary>
        /// <param name="x"></param>
        /// <returns></returns>
        public char Find(char x)
        {
            //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素
            if (dic[x].parent == x)
                return x;
 
            //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)
            return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
        }
        #endregion
 
        #region 合并两个不相交集合
        /// <summary>
        /// 合并两个不相交集合
        /// </summary>
        /// <param name="root1"></param>
        /// <param name="root2"></param>
        /// <returns></returns>
        public void Union(char root1, char root2)
        {
            char x1 = Find(root1);
            char y1 = Find(root2);
 
            //如果根节点相同则说明是同一个集合
            if (x1 == y1)
                return;
 
            //说明左集合的深度 < 右集合
            if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)
            {
                //将左集合指向右集合
                dic[x1].parent = y1;
            }
            else
            {
                //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++
                if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)
                    dic[x1].rank++;
 
                dic[y1].parent = x1;
            }
        }
        #endregion
    }
}