问题

二叉树查找

思路说明

二叉树查找是一个面对动态数据比较常用的查找算法。本文根据下面地址文章翻译，并根据本人的理解进行适当修改。 原文地址：http://www.laurentluce.com/posts/binary-search-tree-library-in-python/comment-page-1/

二叉树查找的定义

定义内容可以参阅Wikipedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_tree 这里是中文的：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%90%9C%E5%B0%8B%E6%A8%B9 摘要其中对二叉树的描述：

二叉树查找的性质：

  1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
  2. 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
  3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
  4. 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。 虽然二叉查找树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.

用python实现二叉树查找

以下面图示的二叉树为例说明查找算法 二叉树查找之基本思想 - 图1 Node 类 创建一个类，命名为Node，做为二叉树节点结构，其中包括：左枝、右枝、节点数据三个变量。

  1.   1. class Node:
  2.     2.     """
  3.     3.     二叉树左右枝
  4.     4.     """
  5.     5.     def __init__(self, data):
  6.     6.         """
  7.     7.         节点结构
  8.     8.   9.         """
  9.     10.         self.left = None
  10.     11.         self.right = None
  11.     12.         self.data = data

例如创建一个含整数8的节点。因为仅仅创建一个节点，所以左右枝都是None。

  1.   1. root = Node(8)

这样就得到如下图所示的只有一个节点的树。 二叉树查找之基本思想 - 图2 插入方法 现在已经有了一棵光秃秃的树，要有枝杈和叶子，就必须用插入数据方法，添加新的节点和数据。

  1.   1. def insert(self, data):
  2.     2.     """
  3.     3.     插入节点数据
  4.     4.     """
  5.     5.     if data < self.data:
  6.     6.         if self.left is None:
  7.     7.             self.left = Node(data)
  8.     8.         else:
  9.     9.             self.left.insert(data)
  10.     10.     elif data > self.data:
  11.     11.         if self.right is None:
  12.     12.             self.right = Node(data)
  13.     13.         else:
  14.     14.             self.right.insert(data)

承接前面的操作，可以用下面的方式增加树的枝杈和叶子（左右枝以及节点数据）。

  1.   1. root.insert(3)
  2.     2. root.insert(10)
  3.     3. root.insert(1)

当增加了第二个节点数据3,程序会：

  • 第一步，root会调用insert()，其参数是data=3
  • 第二步，比较3和8（已有的根节点），3比8小。并且树的左枝还是None，于是就在左边建立一个新的节点。

增加第三个节点数据10,程序会：

  • 第一步，跟前面的第一步一样，只不过data=10
  • 第二步，发现10大于8,同时右边是None,于是就把它做为右边新建分支的节点数据。

增加第四个节点数据1,程序会：

  • 第一步，同前，data=1
  • 第二步，1小于8,所以要放在树的左枝；
  • 第三步，左枝已经有子节点3,该节点再次调用insert()方法，1小于3,所以1就做为3的子节点，且放在原本就是None的左侧。

如此，就形成了下图的树 二叉树查找之基本思想 - 图3 继续增加节点数据

  1.   1. root.insert(6)
  2.     2. root.insert(4)
  3.     3. root.insert(7)
  4.     4. root.insert(14)
  5.     5. root.insert(13)

最终形成下图的树 二叉树查找之基本思想 - 图4 遍历树 此方法用于查找树中的某个节点，如果找到了，就返回该节点，否则返回None。为了方便，也返回父节点。

  1.   1. def lookup(self, data, parent=None):
  2.     2.     """
  3.     3.     遍历二叉树
  4.     4.     """
  5.     5.     if data < self.data:
  6.     6.         if self.left is None:
  7.     7.             return None, None
  8.     8.         return self.left.lookup(data, self)
  9.     9.     elif data > self.data:
  10.     10.         if self.right is None:
  11.     11.             return None, None
  12.     12.         return self.right.lookup(data, self)
  13.     13.     else:
  14.     14.         return self, parent

测试一下，找一找数据为6的节点

  1.   1. node, parent = root.lookup(6)

调用lookup()后，程序会这么干：

  1. 调用lookup()，传递参数data=6,默认parent=None
  2. data=6，小于根节点的值8
  3. 指针转到根节点左侧，此时:data=6,parent=8,再次调用lookup()
  4. data=6大于左侧第一层节点数据3
  5. 指针转到3的右侧分支，data=6,parent=3,再次调用lookup()
  6. 节点数据等于6,于是返回这个节点和它的父节点3

删除方法 删除节点数据。代码如下：

  1.   1. def delete(self, data):
  2.     2.     """
  3.     3.     删除节点
  4.     4.     """
  5.     5.     node, parent = self.lookup(data)        #已有节点
  6.     6.     if node is not None:
  7.     7.         children_count = node.children_count()      #判断子节点数
  8.     8.         if children_count == 0:
  9.     9.             # 如果该节点下没有子节点，即可删除
  10.     10.             if parent.left is node:
  11.     11.                 parent.left = None
  12.     12.             else:
  13.     13.                 parent.right = None
  14.     14.             del node
  15.     15.         elif children_count == 1:
  16.     16.             # 如果有一个子节点，则让子节点上移替换该节点（该节点消失)
  17.     17.             if node.left:
  18.     18.                 n = node.left
  19.     19.             else:
  20.     20.                 n = node.right
  21.     21.             if parent:
  22.     22.                 if parent.left is node:
  23.     23.                     parent.left = n
  24.     24.                 else:
  25.     25.                     parent.right = n
  26.     26.             del node
  27.     27.         else:
  28.     28.             # 如果有两个子节点，则要判断节点下所有叶子
  29.     29.             parent = node
  30.     30.             successor = node.right
  31.     31.             while successor.left:
  32.     32.                 parent = successor
  33.     33.                 successor = successor.left
  34.     34.             node.data = successor.data
  35.     35.             if parent.left == successor:
  36.     36.                 parent.left = successor.right
  37.     37.             else:
  38.     38.                 parent.right = successor.right

在上述方法中，得到当前节点下的子节点数目后，需要进行三种情况的判断

  • 如果没有子节点，直接删除
  • 如果有一个子节点，要将下一个子节点上移到当前节点，即替换之
  • 如果有两个子节点，要对自己点的数据进行判断，并从新安排节点排序

上述方法中用到了统计子节点数目的方法，代码如下：

  1.   1. def children_count(self):
  2.     2.     """
  3.     3.     子节点个数
  4.     4.     """
  5.     5.     cnt = 0
  6.     6.     if self.left:
  7.     7.         cnt += 1
  8.     8.     if self.right:
  9.     9.         cnt += 1
  10.     10.     return cnt

例1：删除数据为1的节点，它是3的子节点，1后面没有子节点

  1.   1. root.delete(1)

二叉树查找之基本思想 - 图5 例2：删除数据为14的节点，它是10的子节点，它下面有唯一一个子节点13,13替换之。

  1.   1. root.delete(14)

二叉树查找之基本思想 - 图6 例3：来个复杂的，删除节点数据为3的节点，它下面有两个节点，而节点6下面又有两个4,7。需要一个临时变量successor，将节点3下面的子节点进行查询，并把小于3下面的第一级子节点6左测节点数据4（该数据一定小于其父节点6）替换当前节点3，维持二叉树结构。如下图：

  1.   1. root.delete(3)

二叉树查找之基本思想 - 图7 比较两个二叉树 比较两个二叉树的方法中，只要有一个节点（叶子）与另外一个树的不同，就返回False，也包括缺少对应叶子的情况。

  1.   1. def compare_trees(self, node):
  2.     2.     """
  3.     3.     比较两棵树
  4.     4.     """
  5.     5.     if node is None:
  6.     6.         return False
  7.     7.     if self.data != node.data:
  8.     8.         return False
  9.     9.     res = True
  10.     10.     if self.left is None:
  11.     11.         if node.left:
  12.     12.             return False
  13.     13.     else:
  14.     14.         res = self.left.compare_trees(node.left)
  15.     15.     if res is False:
  16.     16.         return False
  17.     17.     if self.right is None:
  18.     18.         if node.right:
  19.     19.             return False
  20.     20.     else:
  21.     21.         res = self.right.compare_trees(node.right)
  22.     22.     return res

例如，比较tree(3,8,10)和tree(3,8,11)

  1.   1. #root2 是tree(3,8,11)的根
  2.     2. #root 是tree(3,8,10)的根
  3.     3. root.compare_trees(root2)

执行上面的代码，程序会这么走：

  1. root调用compare_trees()方法
  2. root有左侧子节点，调用该节点的compare_trees()
  3. 两个左侧子节点比较，返回true
  4. 按照前面的过程，比较右侧节点，发现不同，则返回False

打印树 把二叉树按照一定的顺序打印出来。不需要参数了。做法就是先左后右（左小于右）。

  1.   1. def print_tree(self):
  2.     2.     """
  3.     3.     按顺序打印数的内容
  4.     4.     """
  5.     5.     if self.left:
  6.     6.         self.left.print_tree()
  7.     7.     print self.data,
  8.     8.     if self.right:
  9.     9.         self.right.print_tree()

操作一下：

  1.   1. root.print_tree()

输出： 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 14 包含所有树元素的生成器 创建一个包含所有树元素的生成器，有时候是有必要的。考虑到内存问题，没有必要实时生成所有节点数据列表，而是要每次调用此方法时，它返回的下一个节点的值。为此，使用它返回一个对象，并停止在那里，那么该函数将在下一次调用方法时从那里继续通过yield关键字返回值。在这种情况下，要使用堆栈，不能使用递归。

  1.   1. def tree_data(self):
  2.     2.     """
  3.     3.     二叉树数据结构
  4.     4.     """
  5.     5.     stack = []
  6.     6.     node = self
  7.     7.     while stack or node: 
  8.     8.         if node:
  9.     9.             stack.append(node)
  10.     10.             node = node.left
  11.     11.         else: 
  12.     12.             node = stack.pop()
  13.     13.             yield node.data
  14.     14.             node = node.right

举例，通过循环得到树：

  1.   1. for data in root.tree_data():
  2.     2.     print data

二叉树查找之基本思想 - 图8 程序会按照先左后右边的原子将数据入栈、出栈，顺序取出值，并返回结果

整理人：豆包AI助手