DP 第五讲 - 最小路径和

在上一篇中，我们通过分析，顺利完成了“三角形最小路径和 ”的动态规划题解。在本节中，我们继续看一道相似题型，以求能完全掌握这种“路径和”的问题。话不多说，先看题目：

01、题目分析
第64题：最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。 示例:
  1. 输入:
    2. [
    3.   [1,3,1],
    4.   [1,5,1],
    5.   [4,2,1]
    6. ]
    7. 输出: 7
    8. 解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
这道题有一定难度哦！如果没有思路请回顾上一篇的学习内容！ 不建议直接看题解！

02、题目图解
首先我们分析题目，要找的是 最小路径和， 这是个啥意思呢？假设我们有一个 m n 的矩形：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 那从*左上角到右下角 的最小路径和，我们可以很容易看出就是 1-3-1-1-1 ，这一条路径，结果等于 7 。

题目明确了，我们继续进行分析。该题与上一道求三角形最小路径和一样，题目明显符合可以从子问题的最优解进行构建 ，所以我们考虑使用动态规划进行求解。首先，我们定义状态：

dp[i][j] : 表示包含第i行j列元素的最小路径和 同样，因为任何一条到达右下角的路径，都会经过 [0,0] 这个元素。所以我们需要对 dp[0][0] 进行初始化。 dp[0][0] = [0][0]位置所在的元素值 继续分析，根据题目给的条件，如果我们要求 dp[i][j] ，那么它一定是从自己的上方或者左边移动而来。如下图所示： 5，只能从3或者1移动而来 2，只能从5或者4移动而来 4，从1移动而来 3，从1移动而来 （红色位置必须从蓝色位置移动而来） 进而我们得到状态转移方程： dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j] 同样我们需要考虑两种特殊情况：

最上面一行，只能由左边移动而来（1-3-1）
最左边一列，只能由上面移动而来（1-1-4）

最后，因为我们的目标是从左上角走到右下角 ，整个网格的最小路径和其实就是包含右下角元素的最小路径和 。即：

设：dp的长度为l 最终结果就是：dp[l-1][len(dp[l-1])-1] 综上我们就分析完了，我们总共进行了 4 步：

定义状态
总结状态转移方程
分析状态转移方程不能满足的特殊情况。
得到最终解

03、GO语言示例

根据以上分析，可以得到代码如下：

  1. func minPathSum(grid [][]int) int {
    2.     l := len(grid)
    3.     if l < 1 {
    4.         return 0
    5.     }
    6.     dp := make([][]int, l)
    7.     for i, arr := range grid {
    8.         dp[i] = make([]int, len(arr))
    9.     }
    10.     dp[0][0] = grid[0][0]
    11.     for i := 0; i < l; i++ {
    12.         for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {
    13.             if i == 0 && j != 0 {
    14.                 dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]
    15.             } else if j == 0 && i != 0 {
    16.                 dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]
    17.             } else if i !=0 && j != 0 {
    18.                 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    19.             }
    20.         }
    21.     }
    22.     return dp[l-1][len(dp[l-1])-1]
    23. }
    24.   25. func min(a, b int) int {
    26.     if a > b {
    27.         return b
    28.     }
    29.     return a
    30. }

运行结果：同样，运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢？通过观察我们发现，在我们自左上角到右下角计算各个节点的最小路径和的过程中，我们只需要使用到之前已经累积计算完毕的数据，并且不会再次访问之前的元素数据 。绘制成图如下：(大家看这个过程像不像扫雷，其实如果大家研究扫雷外挂的话，就会发现在扫雷的核心算法中，就有一处颇为类似这种分析方法，这里就不深究了) 优化后的代码如下：

  1. func minPathSum(grid [][]int) int {
    2.     l := len(grid)
    3.     if l < 1 {
    4.         return 0
    5.     }
    6.     for i := 0; i < l; i++ {
    7.         for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {
    8.             if i == 0 && j != 0 {
    9.                 grid[i][j] = grid[i][j-1] + grid[i][j]
    10.             } else if j == 0 && i != 0 {
    11.                 grid[i][j] = grid[i-1][j] + grid[i][j]
    12.             } else if i !=0 && j != 0 {
    13.                 grid[i][j] = min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]) + grid[i][j]
    14.             }
    15.         }
    16.     }
    17.     return grid[l-1][len(grid[l-1])-1]
    18. }
    19.   20. func min(a, b int) int {
    21.     if a > b {
    22.         return b
    23.     }
    24.     return a
    25. }

运行结果：

课后思考：路径和类问题和之前的子序列类问题有何区别？

整理人：豆包AI助手

2.链表

DP 第五讲 - 最小路径和

01、题目分析

第64题：最小路径和

02、题目图解

03、GO语言示例