第四卷（一）

元史‧卷五十五 志第七 历四·元史‧卷五十五 志第七 历四

授时历经下

步中星第五

大都北极，出地四十度太强。冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。冬至昼，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。夏至昼，冬至夜，六千一百八十四分八秒。昏明，二百五十分。

黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分

黄道积度

内外度

内外差

冬至前后去极

夏至前后去极

冬昼夏夜

夏昼冬夜

昼夜差

初

二十三九０

三０

三三

一百一十五度二一

七三

六十七度四一

一三

一千九百０七

九六

三千九二

０四

０九

一

二十三八九

九七

九九

一百一十五二一

四０

六十七四一

四六

一千九百０八

０五

三千九一

九五

二九

二

二十三八八

九八

一分六六

一百一十五二０

四一

六十七四二

四五

一千九百０八

三四

三千九一

六六

四七

三

二十三八七

三二

二分三一

一百一十五一八

七五

六十七四四

一一

一千九百０八

八一

三千九一

一九

六六

四

二十三八五

０一

二分九九

一百一十五一六

四四

六十七四六

四二

一千九百０九

四七

三千九０

五三

八五

五

二十三八二

０二

三分六五

一百一十五一三 四五

六十七四九 四一

一千九百一０ 三二

三千０八九 六八

一分０四

六

二十三七八 三七

四分三二

一百一十五０九 八０

六十七五三 ０六

一千九百一一 三六

三千０八八 六四

一分二二

七

二十三七四 ０五

四分九八

一百一十五０五 四八

六十七五七 三八

一千九百一二 五八

三千０八七 四二

一分四二

八

二十三 六九 ０七

五分六五

一百一十五 ００ 五０

六十七 六二 三六

一千九百 一四 ００

三千０ 八六 ００

一分六一

九

二十三

六三 四二

六分三六

一百一十四

九四 八五

六十七

六八 ０一

一千九百

一五 六一

三千０ 八四 三九

一分七九

十

二十三 五七 ０六

七分０二

一百一十四 八八 四九

六十七 七四 三七

一千九百 一七

四]０三

三千０ 八二 六０

一分九九

十一

二十三 五０ ０四

七分六九

一百一十四 八一 四七

六十七 八一 三九

一千九百 一九 三九

三千０ 八０ 六一

二分一八

十二

二十三 四二 三五

八分三九

一百一十四 七三 七八

六十七 八九 ０八

一千九百 二一 五七

三千０ 七八 四三

二分三七

十三

二十三 三三 九六

九分０八

一百一十四 六五 三九

六十七 九七

四七

一千九百 二三 九四

三千０ 七六 ０六

二分五六

十四

二十三 二四 八八

九分七五

一百一十四 五六 三一

六十八 ０六 五五

一千九百 二六 五０

三千０ 七三 五０

二分七四

十五

二十三 一五 一三

十分四七

一百一十四 四六 五六

六十八 一六 三０

一千九百 二九 二四

三千０ 七０ 七六

二分九四

十六

二十三 ０四 六六

十一分一四

一百一十四 三六 ０九

六十八 二六 七七

一千九百 三二 一八

三千０ 六七 八二

三分一四

十七

二十二 九三 五二

十一分八五

一百一十四 二四 九五

六十八 三七 九一

一千九百 三五 三二

三千０ 六四 六八

三分三０

十八

二十二 八一 六七

十二分五四

一百一十四 一三 一０

六十八 四九 七六

一千九百 三八 六二

三千０ 六一 三八

三分五一

十九

二十二 六九 一三

十三分二五

一百一十四 ００ 五六

六十八 六二 三０

一千九百 四二

一三

三千０ 五七 八七

三分六九

二十

二十二 五五 八八

十三分九五

一百一十三 八七 三一

六十八 七五 五五

一千九百 四五 八二

三千０ 五四 一八

三分八八

二十一

二十二 四一

九三

十四分六六

一百一十三 七三 三六

六十八 八九 五０

一千九百 四九 七０

三千０ 五０ 三０

四分０七

二十二

二十二 二七 二七

十五分三七

一百一十三 五八 七０

六十九 ０四 一六

一千九百 五三 七七

三千０ 四六 二三

四分二六

二十三

二十二 一一 九０

十六分０六

一百一十三 四三 三三

六十九 一九 五三

一千九百 五八 ０三

三千０ 四一 九七

四分四三

二十四

二十一 九五 八四

十六分七八

一百一十三 二七 二七

六十九 三五 五九

一千九百 六二 四六

三千０ 三七 五四

四分六二

二十五

二十一 七九 ０六

十七分四七

一百一十三 一０ 四九

六十九 五二 三七

一千九百 六七 ０八

三千 三二 九二

四分八０

二十六

二十一 六一 五九

十八分二０

一百一十二 九三 ０二

六十九 六九 八四

一千九百 七一 八八

三千 二八 一二

四分九八

二十七

二十一 四三 三九

十八分九０

一百一十二 七四 八二

六十九 八八 ０四

一千九百 七六 八六

三千 二三 一四

五分一六

二十八

二十一 二四 四九

十九分六０

一百一十二 五五 九二

七十 ０六 九四

一千九百 八二 ０二

三千 一七 九八

五分三五

二十九

二十一 ０四 八九

二十分二七

一百一十二 三六 三二

七十 二六 五四

一千九百 八七 三七

三千 一二 六三

五分四九

三十

二十 八四 六二

二十分九九

一百一十二 一六 ０五

七十 四六 八一

一千九百 九二 八六

三千 ０七 一四

五分六七

三十一

二十 六三 六三

二十一分六八

一百一十一 九五 ０六

七十 六七 八０

一千九百 九八 五三

三千 ０一 四七

五分八五

三十二

二十 四一 九五

二十二分三五

一百一十一 七三 三八

七十 八九 四八

二千 ０四 三八

二千九百 九五 六二

六分０一

三十三

二十 一九 六０

二十三分０三

一百一十一 五一 ０三

七十一 一一 八三

二千 一０ 三九

二千九百 八九 六一

六分一六

三十四

十九 九六 五七

二十三分七一

一百一十一 二八 ００

七十一 三四 八六

二千 一六 五五

二千九百 八三 四五

六分三三

三十五

十九 七二 八六

二十四分三七

一百一十一 ０四 二九

七十一 五八 五七

二千 二二 八八

二千九百 七七 一二

六分四八

三十六

十九 四八 四九

二十五分０三

一百一十 七九 九二

七十一 八二 九四

二千 二九 三六

二千九百 七０ 六四

六分六三

三十七

十九 二三 四六

二十五分六六

一百一十 五四 八九

七十二 ０七 九七

二千０ 三五 九九

二千九百 六四 ０一

六分七八

三十八

十八 九七 八０

二十六分三一

一百一十 二九 二三

七十二 三三 六三

二千０ 四二 七七

二千九百 五七 二三

六分九二

三十九

十八 七一 四九

二十六分九三

一百一十 ０二 九二

七十二 五九 九四

二千０ 四九 六九

二千九百 五０ 三一

七分０三

四十

十八 四四 五六

二十七分五二

一百０九 七五 九九

七十二 八六 八七

二千０ 五六 七四

二千九百 四三 二六

七分一九

四十一

十八 一七 ０四

二十八分一四

一百０九 四八 四七

七十三 一四 三九

二千０ 六三 九三

二千九百 三六 ０七

七分三二

四十二

十七 八八 九０

二十八分七二

一百０九 二０ 三三

七十三 四二 五三

二千０ 七一 二五

二千九百 二八 七五

七分四四

四十三

十七 六０ 一八

二十九分二九

一百０八 九一 六一

七十三 七一 二五

二千０ 七八 六九

二千九百 二一 三一

七分五六

四十四

十七 三０ 八九

二十九分八四

一百０八 六二 三二

七十四 ００ 五八

二千０ 八六 二五

二千九百 一三 七五

七分六八

四十五

十七 ０一 ０五

三十分三八

一百０八 三二 四八

七十四 三０ 三八

二千０ 九三 九三

二千九百 ０六 ０七

七分七八

四十六

十六 七０ 六七

三十分九０

一百０八 ０二 一０

七十四 六０ 六七

二千一百 ０一 七一

二千八百 九八 二九

七分八九

四十七

十六 三九 七七

三十一分四一

一百０七 七一 二０

七十四 九一 六六

二千一百 ０九 六０

二千八百 九０ 四０

七分九八

四十八

十六 ０八 三六

三十一分九一

一百０七 三九 七九

七十五 二三 ０七

二千一百 一七 五八

二千八百 八二 四二

八分０八

四十九

十五 七六 四五

三十二分三六

一百０七 ０七 八八

七十五 五四 九八

二千一百 二五 六六

二千八百 七四 三四

八分一七

五十

十五 四四 ０九

三十二分八五

一百０六 七五 五二

七十五 八七 三四

二千一百 三三 八三

二千八百 六六 一七

八分二六

五十一

十五 一一 二四

三十三分二六

一百０六 四二 六七

七十六 二０ 一九

二千一百 四二 ０九

二千八百 五七 九一

八分三二

五十二

十四 七七 九八

三十三分六四

一百０六 ０九 四一

七十六 五三 四五

二千一百 五０ 四一

二千八百 四九 五九

八分四０

五十三

十四 四四 三四

三十四分０七

一百０五 七五 七七

七十六 八七 ０九

二千一百 五八 八一

二千八百 四一 一九

八分四六

五十四

十四 一０ 二七

三十四分四五

一百０五 四一 七０

七十七 二一 一六

二千一百 六七 二七

二千八百 三二 七三

八分五四

五十五

十三 七五 八二

三十四分八一

一百０五 ０七 二五

七十七 五五 六一

二千一百 七五 八一

二千八百 二四 一九

八分五九

五十六

十三 四一 ０一

三十五分一五

一百０四 七二 四四

七十七 九０ 四二

二千一百 八四 四０

二千八百 一五 六０

八分六四

五十七

十三 ０五 八六

三十五分四七

一百０四 三七 二九

七十八 二五 五七

二千一百 九三 ０四

二千八百 ０六 九六

八分六九

五十八

十二 七０ 三九

三十五分七八

一百０四 ０一 八二

七十八 六一 ０四

二千二百 ０一 七三

二千七百 九八 二七

八分七五

五十九

十二 三四 六一

三十六分０七

一百０三 六六 ０四

七十八 九六

八二

二千二百 一０ 四八

二千七百 八九 五二

八分七八

六十

十一 九八 五四

三十六分三三

一百０三 二九 九七

七十九 三二 八九

二千二百 一九 二六

二千七百 八０ 七四

八分八一

六十一

十一 六二 二一

三十六分五九

一百０二 九三 六四

七十九 六九 二二

二千二百 二八 ０七

二千七百 七一 九三

八分八四

六十二

十一 二五 六二

三十六分八三

一百０二 五七 ０五

八十０ ０五

八

二千二百 三六 九一

二千七百 六三 ０九

八分八九

六十三

十 八八 七九

三十七分０五

一百０二 二０ 二二

八十０ 四二 六四

二千二百 四五 八０

二千七百 五四

二０

八分九０

六十四

十 五一 七四

三十七分二四

一百０一 八三 一七

八十０ 七九 六九

二千二百 五四

七０

二千七百 四五 三０

八分九二

六十五

十 一四 五０

三十七分四四

一百０一 四五 九三

八十一 一六

九三

二千二百 六三 六二

二千七百 三六 三八

八分九四

六十六

九 七七 ０六

三十七分六一

一百０一 ０八 四九

八十一 五四 三七

二千二百 七二 五六

二千七百 二七 四四

八分九七

六十七

九 三九 四五

三十七分七六

一百００ 七０ 八八

八十一 九一 九八

二千二百 八一 五三

二千七百 一八 四七

八分九七

六十八

九 ０一 六九

三十七分九一

一百００ 三三 一二

八十二 二九 七四

二千二百 九０ 五０

二千七百 ０九 五０

八分九八

六十九

八 六三 七八

三十八分０七

九十九 九五 二一

八十二 六七 六五

二千二百 九九

四八

二千七百 ００ 五二

九分００

七十

八 二五 七一

三十八分一七

九十九 五七 一四

八十三 ０五 七二

二千三百 ０八 四八

二千六百 九一 五二

九分００

七十一

七 八七 五四

三十八分二八

九十九 一八 九七

八十三 四三 八九

二千三百 一七 四八

二千六百 八二 五二

九分０一

七十二

七 四九 二六

三十八分三八

九十八 八０ 六九

八十三 八二 一七

二千三百 二六 四九

二千六百 七三 五一

九分０一

七十三

七 一０ 八八

三十八分四七

九十八 四二 三一

八十四 二０ 五五

二千三百 三五

五０

二千六百 六四 五０

九分０一

七十四

六 七二 四一

三十八分五四

九十八 ０三 八四

八十四 五九 ０二

二千三百 四四 五一

二千六百 五五 四九

九分０一

七十五

六 三三 八七

三十八分六二

九十七 六五 三０

八十四 九七 五六

二千三百 五三 五二

二千六百 四六 四八

九分０一

七十六

五 九五 二五

三十八分六七

九十七 二六 六八

八十五 三六 一八

二千三百 六二 五三

二千六百 三七 四七

九分０一

七十七

五 五六 五八

三十八分七三

九十七

六 八八 ０一

八十五 七四 八五

二千三百 七一 五四

二千六百 二八 四六

九分００

七十八

五 一七 八五

三十八分七七

九十六 四九 二八

八十六 一三 五八

二千三百 八０ 五四

二千六百 一九 四六

九分００

七十九

四 七九 ０八

三十八分八一

九十六 一０ 五一

八十六 五二 三五

二千三百 八九 五四

二千六百 一０ 四六

九分００

八十

四 四０ 二七

三十八分八五

九十五 七一 七０

八十六 九一 一六

二千三百 九八 五四

二千六百 ０一 四六

九分００

八十一

四 ０一 四二

三十八分八八

九十五 三二 八五

八十七 三０ ０一

二千四百 ０七 五四

二千五百 九二 四六

九分００

八十二

三 六二 五四

三十八分八九

九十四 九三

九七

八十七 六八

八九

二千四百 一六 五四

二千五百 八三 四六

八分九七

八十三

三 二三 六五

三十八分九０

九十四

五五 ０八

八十八 ０七

七八

二千四百 二五 五一

二千五百 七四 四九

八分九七

八十四

二 八四 七五

三十八分九二

九十四 一六 一八

八十八 四六 六八

二千四百 三四 四八

二千五百 六五 五二

八分九七

八十五

二 四五 八三

三十八分九三

九十三 七七 二六

八十八 八五

六０

二千四百 四三 四五

二千五百 五六 五五

八分九七

八十六

二 ０六 九０

三十八分九四

九十三 三八 三三

八十九 二四 五三

二千四百 五二 四二

二千五百 四七 五八

八分九六

八十七

一 六七 九六

三十八分九四

九十二 九九 三九

八十九 六三 四七

二千四百 六一 三八

二千五百 三八 六二

八分九六

八十八

一 二九 ０二

三十八分九五

九十二 六０ 四五

九十０ ０二 四一

二千四百 七０ 三四

二千五百 二九 六六

八分九六

八十九

九０ ０七

三十八分九五

九十二 二一 五０

九十０ 四一 三六

二千四百 七九 三０

二千五百 二０ 七０

八分九六

九十

五一 一二

三十八分九五

九十一 八二 五五

九十０ 八０ 三一

二千四百 八八 二六

二千五百 一一 七四

八分九五

九十一

一二 一七

一十二分一七

九十一 四三 六０

九十一 一九 二六

二千四百 九七 二一

二千五百 ０二 七九

二分七九

九十一三一

空

空

九十一 三一 四三

九十一 三一 四三

二千五百

二千五百

空

求每日黄道出入赤道内外去极度

置所求日晨前夜半黄道积度，满半岁周，去之，在象限已下，为初限；已上，复减半岁周，余为入末限；满积度，去之，余以其段内外差乘之，百约之，所得，用减内外度，为出入赤道内外度；内减外加象限，即所求去极度及分秒。

求每日半昼夜及日出入晨昏分

置所求入初末限，满积度，去之，余以昼夜差乘之，百约之，所得，加减其段半昼夜分，为所求日半昼夜分；（前多后少为减，前少后多为加。）以半夜分便为日出分，用减日周，余为日入分；以昏明分减日出分，余为晨分；加日入分，为昏分。

求昼夜刻及日出入辰刻

置半夜分，倍之，百约，为夜刻；以减百刻，余为昼刻；以日出入分依发敛求之，即得所求辰刻。

求更点率置晨分，倍之，五约，为更率；又五约更率，为点率。

求更点所在辰刻置所求更点数，以更点率乘之，加其日昏分，依发敛求之，即得所求辰刻。

求距中度及更差度

置半日周，以其日晨分减之，余为距中分；以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如日周而一，所得，为距中度；用减一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，为更差度及分。

求昏明五更中星

置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所临宿次，命为初更中星；以更差度累加之，满赤道宿次去之，为逐更及晓中星宿度及分秒。其九服所在昼夜刻分及中星诸率，并准随处北极出地度数推之。（已上诸率，与晷漏所推自相符契。）

求九服所在漏刻

各于所在以仪测验，或下水漏，以定其处冬至或夏至夜刻，与五十刻相减，余为至差刻。置所求日黄道，去赤道内外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，所得内减外加五十刻，即所求夜刻；以减百刻，余为昼刻。（其日出入辰刻及更点等率，依术求之。）

步交会第六

交终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。交终，二十七日二千一百二十二分二十四秒。交中，十三日六千六十一分一十二秒。交差，二日三千一百八十三分六十九秒。交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。交应，二十六万一百八十七分八十六秒。交终，三百六十三度七十九分三十四秒。交中，一百八十一度八十九分六十七秒。正交，三百五十七度六十四分。中交，一百八十八度五分。日食阳历限，六度。定法，六十。 阴历限，八度。定法，八十。月食限，十三度五分。定法，八十七。

推天正经朔入交

置中积，加交应，减闰余，满交终分，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分秒，即天正经朔入交泛日及分秒。（上考者，中积内加所求闰余，减交应，满交终去之，不尽，以减交终，余如上。）

求次朔望入交

置天正经朔入交泛日及分秒，以交望累加之，满交终日，去之，即为次朔望入交泛日及分秒。

求定朔望及每日夜半入交

各置入交泛日及分秒，减去经朔望小余，即为定朔望夜半入交。若定日有增损者，亦如之。否则因经为定，大月加二日，小月加一日，余皆加七千八百七十七分七十六秒，即朔夜半入交；累加一日，满交终日，去之，即每日夜半入交泛日及分秒。

求定朔望加时入交置经朔望入交泛日及分秒，以定朔望加减差加减之，即定朔望加时入交日及分秒。

求交常交定度

置经朔望入交泛日及分秒，以月平行度乘之，为交常度；以盈缩差盈加缩减之，为交定度。

求日月食甚定分

日食：视定朔分在半日周已下，去减半周，为中前；已上，减去半周，为中后；与半周相减、相乘，退二位，如九十六而一，为时差；中前以减，中后以加，皆加减定朔分，为食甚定分；以中前后分各加时差，为距午定分。

月食：视定望分在日周四分之一已下，为卯前；已上，覆减半周，为卯后；在四分之三已下，减去半周，为酉前；已上，覆减日周，为酉后。以卯酉前后分自乘，退二位，如四百七十八而一，为时差；子前以减，子后以加，皆加减定望分，为食甚定分；各依发敛求之，即食甚辰刻。

求日月食甚入盈缩历及日行定度

置经朔望入盈缩历日及分，以食甚日及定分加之，以经朔望日及分减之，即为食甚入盈缩历；依日躔术求盈缩差，盈加缩减之，为食甚入盈缩历定度。

求南北差

视日食甚入盈缩历定度，在象限已下，为初限；已上，用减半岁周，为末限；以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒；用减四度四十六分，余为南北泛差；以距午定分乘之，以半昼分除之，所得，以减泛差，为定差。（泛差不及减者，反减之为定差，应加者减之，应减者加之。）在盈初缩末者，交前阴历减，阳历加，交后阴历加，阳历减；在缩初盈末者，交前阴历加，阳历减，交后阴历减，阳历加。

求东西差

视日食甚入盈缩历定度，与半岁周相减相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒，为东西泛差；以距午定分乘之，以日周四分之一除之，为定差。（若在泛差已上者，倍泛差减之，余为定差，依其加减。）在盈中前者，交前阴历减，阳历加；交后阴历加，阳历减；中后者，交前阴历加，阳历减；交后阴历减，阳历加。在缩中前者，交前阴历加，阳历减；交后阴历减，阳历加；中后者，交前阴历减，阳历加；交后阴历加，阳历减。

求日食正交中交限度置正交、中交度，以南北东西差加减之，为正交、中交限度及分秒。

求日食入阴阳历去交前后度

视交定度，在中交限已下，以减中交限，为阳历交前度；已上，减去中交限，为阴历交后度；在正交限已下，以减正交限，为阴历交前度；已上，减去正交限，为阳历交后度。

求月食入阴阳历去交前后度

视交定度，在交中度已下，为阳历；已上，减去交中，为阴历。视入阴阳历，在后准十五度半已下，为交后度；前准一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆减交中，余为交前度及分。

求日食分秒视去交前后度，各减阴阳历食限，（不及减者不食。）余如定法而一，各为日食之分秒。

求月食分秒

视去交前后度，（不用南北东西差者。）用减食限，（不及减者不食。）余如定法而一，为月食之分秒。

求日食定用及三限辰刻

置日食分秒，与二十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，为日食三限辰刻。

求月食定用及三限五限辰刻

置月食分秒，与三十分相减、相乘，平方开之；所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，即月食三限辰刻。

月食既者，以既内分与一十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为既内分；用减定用分，为既外分；以定用分减食甚定分，为初亏；加既外，为食既；又加既内，为食甚；再加既内，为生光；复加既外，为复圆；依发敛求之，即月食五限辰刻。

求月食入更点

置食甚所入日晨分，倍之，五约，为更法；又五约更法，为点法。乃置初末诸分，昏分已上，减去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，为更数；不满，以点法收之，为点数；其更点数，命初更初点算外，各得所入更点。

求日食所起

食在阳历，初起西南，甚于正南，复于东南；食在阴历，初起西北，甚于正北，复于东北；食八分已上，初起正西，复于正东。（此据午地而论之。）

求月食所起

食在阳历，初起东北，甚于正北，复于西北；食在阴历，初起东南，甚于正南，复于西南；食八分已上，初起正东，复于正西。（此亦据午地而论之。）

求日月出入带食所见分数

视其日日出入分，在初亏已上、食甚已下者，为带食。各以食甚分与日出入分相减，余为带食差；以乘所食之分，满定用分而一，（如月食既者，以既内分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出入所见之分；不及减者，为带食既出入。）以减所食分，即日月出入带食所见之分。（其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。）

求日月食甚宿次

置日月食甚入盈缩历定度，在盈，便为定积；在缩，加半岁周，为定积。望即更加半周天度。以天正冬至加时黄道日度，加而命之，各得日月食甚宿次及分秒。

步五星第七

历度

三百六十五度二十五分七十五秒。

历中

一百八十二度六十二分八十七秒半。

历策

一十五度二十一分九十秒六十二微半。

木星

周率，三百九十八万八千八百分。

周日，三百九十八日八十八分。

历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。

度率，一十一万八千五百八十二分。

合应，一百一十七万九千七百二十六分。

历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。

盈缩立差，二百三十六加。

平差，二万五千九百一十二减。

定差，一千八十九万七千。

伏见，一十三度。

段目

段日

平度

限度

初行率

合伏

一十六日八十六

三度八十六

二度九十三

二十三分

晨疾初

二十八日

六度一十一

四度六十四

二十二分

晨疾末

二十八日

五度五十一

四度一十九

二十一分

晨迟初

二十八日

四度三十一

三度二十八

一十八分

晨迟末

二十八日

一度九十一

一度四十五

一十二分

晨留

二十四日

晨退

四十六日五十八

四度 八十八

一十二半 空 三十二

八十七半 夕退

四十六日五十八

四度 八十八

一十二半 空 三十二

八十七半 一十六分

夕留

二十四日

夕迟初

二十八日

一度九十一

一度四十五

夕迟末

二十八日

四度三十一

三度二十八

一十二分

夕疾初

二十八日

五度五十一

四度一十九

一十八分

夕疾末

二十八日

六度一十一

四度六十四

二十一分

夕伏

一十六日八十六

三度八十六

二度九十三

二十二分

火星

周率，七百七十九万九千二百九十分。

周日，七百七十九日九十二分九十秒。

历率 ，六百八十六万九千五百八十分四十三秒。

度率，一万八千八百七分半。

合应，五十 六万七千五百四十五分。

历应，五百四十七万二千九百三十八分。

盈初缩末立差，一千一百三十五减。

平差，八十三万一千一百八十九减。

定差，八千八百四十七万八千四百 。

缩初盈末立差，八百五十一加。

平差，三万二百三十五负减。

定差，二千九百九十七万六千三百。

伏见，一十九度。

段目

段日

平度

限度

初行率

合伏

六十九日

五十度

四十六度五十

七十三分

晨疾初

五十九日

四十一度八十

三十八度八十七

七十二分

晨疾末

五十七日

三十九度０八

三十六度三十四

七十分

晨次疾初

五十三日

三十四度一十六

三十一度七十七

六十七分

晨次疾末

四十七日

二十七度０

二十五度一十五

六十二分

晨迟初

三十九日

一十七度七十二

一十六度四十八

五十三分

晨迟末

二十九日

六度二十

五度七十七

三十八分

晨留

八日

晨退

二十八日

九十六 四十五

八度

六十五 六十七半

六度

四十六 三十二半

夕退

二十八日

九十六 四十五

八度

六十五 六十七半

六度

四十六 三十二半

四十四分

夕留

八日

夕迟初

二十九日

六度二十

五度七十七

夕迟末

三十九日

一十七度七十二

一十六度四十八

三十八分

夕次疾初

四十七日

二十七度０四

二十五度一十五

五十三分

夕次疾末

五十三日

三十四度一十六

三十一度七十七

六十二分

夕疾初

五十七日

三十九度０八

三十六度三十四

六十七分

夕疾末

五十九日

四十一度八十

三十八度八十七

七十分

夕伏

六十九日

五十度

四十六度五十

七十二分

土星

周率，三百七十八万九百一十六分。

周日，三百七十八日九分一十六秒。

历率，一 亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。

度率，二十九万四千二百五十五分。

合 应，一十七万五千六百四十三分。

历应，五千二百二十四万五百六十一分。

盈立差， 二百八十三加。

平差，四万一千二十二减。

定差，一千五百一十四万六千一百 。

缩立差，三百三十一加。

平差，一万五千一百二十六减。

定差，一千一百一万 七千五百。

伏见，一十八度。

段目

段日

平度

限度

初行率

合伏

二十日四十

二度四十

一度四十九

一十二分

晨疾

三十一日

三度四十

二度一十一

一十一分

晨次疾

二十九日

二度七十五

一度七十一

一十分

晨迟

二十六日

一度五十

初八十三

八分

晨留

三十日

晨退

五十二日

六十四 五十八

三度

六十二 五十四半

初

二十八 四十五半

夕退

五十二日

六十四 五十八

三度

六十二 五十四半

初

二十八 四十五半

一十分

夕留

三十日

夕迟

二十六日

一度五十

初八十三

夕次疾

二十九日

二度七十五

一度七十一

八分

夕疾

三十一日

三度四十

二度一十一

一十分

夕伏

二十日四十

二度四十

一度四十九

一十一分

金星

周率，五百八十三万九千二十六分。周日，五百八十三日九十分二十六秒。历率， 三百六十五万二千五百七十五分。度率，一万。合应，五百七十一万六千三百三十分 。历应，一十一万九千六百三十九分。盈缩立差，一百四十一加。平差，三减。 定差，三百五十一万五千五百。伏见，一十度半。

段目

段日

平度

限度

初行率

合伏

三十九日

四十九度五十

四十七度六十四

一度二十七分半

夕疾初

五十二日

六十五度五十

六十三度０四

一度二十六分半

夕初末

四十九日

六十一度

五十八度七十一

一度二十五分半

夕次疾初

四十二日

五十度二十五

四十八度三十六

一度二十三分半

夕次疾末

三十九日

四十二度五十

四十度九十

一度一十六分

夕迟初

三十三日

二十七度

二十五度九十九

一度二分

夕迟末

一十六日

四度二十五

四度０九

六十二分

夕留

五日

夕退

一十日

九十五 一十三

三度

六十九 八十七

一度

五十九 一十三

夕退伏

六日

四度三十五

一度六十三

六十一分

合退伏

六日

四度三十五

一度六十三

八十二分

晨退

一十日

九十五 一十三

三度

六十九 八十七

一度

五十九 一十三

六十一分

晨留

五日

晨迟初

一十六日

四度二十五

四度０九

晨迟末

三十三日

二十七度

二十五度九十九

六十二分

晨次疾初

三十九日

四十二度五十

四十度九十

一度二分

晨次疾末

四十二日

五十度二十五

四十八度三十六

一度一十六分

晨疾初

四十九日

六十一度

五十八度七十一

一度二十三分半

晨疾末

五十二日

六十五度五十

六十三度０四

一度二十五分半

晨伏

三十九日

四十九度五十

四十七度六十四

一度二十六分 半

水星

周率，一百一十五万八千七百六十分。周日，一百一十五日八十七分六十秒。历率 ，三百六十五万二千五百七十五分。度率，一万。合应，七十万四百三十七分。历 应，二百五万五千一百六十一分。盈缩立差，一百四十一加。 平差，二千一百六 十五减。 定差，三百八十七万七千。晨伏夕见，一十六度半。夕伏晨见，一十 九度。

段目

段日

平度

限度

初行率

合伏

一十七日七十五

三十四度二十五

二十九度０八

二度 一十五分

五十八 夕疾

一十五日

二十一度三十八

一十八度一十六

一度 七十分

三十四 夕迟

一十二日

一十度一十二

八度五十九

一度 一十四分

七十二 夕留

二日

夕退伏

一十一日 一十八

八十 七度 八十一

二十 二度 一十

八十 合退伏

一十一日 一十八

八十 七度 八十一

二十

二度 一十

八十 一度 三分

四十六 晨留

二日

晨迟

一十二日

一十度一十二

八度五十九

晨疾

一十五日

二十一度三十八

一十八度一十六

一度 一十四分

七十二 晨伏

一十七日七十五

三十四二十五

二十九度０八

一度 七十分

三十四 推天正冬至后五星平合及诸段中积中星

置中积，加合应，以其星周率去之，不尽，为前合；复减周率，余为后合；以日周约之，得其星天正冬至后平合中积中星。（命为日，日中积；命为度，日中星。）以段日累加中积，即诸段中积；以平度累加中星，经退则减之，即为诸段中星。（上考者，中积内减合应，满周率去之，不尽，便为所求后合分。）

推五星平合及诸段入历

各置中积，加历应及所求后合分，满历率，去之；不尽，如度率而一为度，不满，退除为分秒，即其星平合入历度及分秒；以诸段限度累加之，即诸段入历。（上考者，中积内减历应，满历率去之，不尽，反减历率，余加其年后合，余同上。）

求盈缩差

置入历度及分秒，在历中已下，为盈；已上，减去历中，余为缩。视盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。

其火星，盈历在六十度八十七分六十二秒半已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。缩历在一百二十一度七十五分二十五秒已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。

置各星立差，以初末限乘之，去加减平差，得，又以初末限乘之，去加减定差，再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。

又术：置盈缩历，以历策除之，为策数，不尽为策余；以其下损益率乘之，历策除之，所得，益加损减其下盈缩积，亦为所求盈缩差。

求平合诸段定积

各置其星其段中积，以其盈缩差盈加缩减之，即其段定积日及分秒；以天正冬至日分加之，满纪法去之，不满，命甲子算外，即得日辰。

求平合及诸段所在月日

各置其段定积，以天正闰日及分加之，满朔策，除之为月数，不尽，为入月已来日数及分秒。其月数，命天正十一月算外，即其段入月经朔日数及分秒；以日辰相距，为所在定朔月日。

求平合及诸段加时定星

各置其段中星，以盈缩差盈加缩减之，（金星倍之，水星三之。）即诸段定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。

求诸段初日晨前夜半定星

各以其段初行率，乘其段加时分，百约之，乃顺减退加其日加时定星，即其段初日晨前夜半定星；加命如前，即得所求。

求诸段日率度率各以其段日辰距后段日辰为日率，以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余为度率。

求诸段平行分各置其段度率，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。

求诸段增减差及日差

以本段前后平行分相减，为其段泛差；倍而退位，为增减差；以加减其段平行分，为初末日行分。（前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。）倍增减差，为緫差；以日率减一，除之，为日差。

求前后伏迟退段增减差

前伏者，置后段初日行分，加其日差之半，为末日行分。

后伏者，置前段末日行分，加其日差之半，为初日行分。以减伏段平行分，余为增减差。

前迟者，置前段末日行分，倍其日差，减之，为初日行分。

后迟者，置后段初日行分，倍其日差，减之，为末日行分；以迟段平行分减之，余为增减差。（前后近留之迟段。）

木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，为增减差。金星，前后退伏者，三因平行分，半而退位，为增减差。前退者，置后段初日行分，以其日差减之，为末日行分。

后退者，置前段末日行分，以其日差减之，为初日行分；乃以本段平行分减之。余为增减差。

水星，退行者，半平行分，为增减差；皆以增减差加减平行分，为初末日行分。（前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。）又倍增减差，为緫差；以日率减一，除之，为日差。

求每日晨前夜半星行宿次

各置其段初日行分，以日差累损益之，后少则损之，后多则益之，为每日行度及分秒；乃顺加退减，满宿次去之，即每日晨前夜半星行宿次。

求五星平合见伏入盈缩历

置其星其段定积日及分秒，（若满岁周日及分秒，去之，余在次年天正冬至后。）如在半岁周已下，为入盈历；满半岁周，去之，为入缩历；各在初限已下，为初限；已上，反减半岁周，余为末限；即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。

求五星平合见伏行差

各以其星其段初日星行分，与其段初日太阳行分相减，余为行差。若金、水二星退行在退合者，以其段初日星行分，并其段初日太阳行分，为行差；内水星夕伏晨见者，直以其段初日太阳行分为行差。

求五星定合定见定伏泛积

木火土三星，以平合晨见夕伏定积日，便为定合伏见泛积日及分秒。

金水二星，置其段盈缩差度及分秒，（水星倍之。）各以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒。在平合夕见晨伏者，盈减缩加；在退合夕伏晨见者，盈加缩减；各以加减定积为定合伏见泛积日及分秒。

求五星定合定积定星

木火土三星，各以平合行差除其段初日太阳盈缩积，为距合差日；不满，退除为分秒，以太阳盈缩积减之，为距合差度。各置其星定合泛积，以距合差日盈减缩加之，为其星定合定积日及分秒；以距合差度盈减缩加之，为其星定合定星度及分秒。

金水二星，顺合退合者，各以平合退合行差，除其日太阳盈缩积，为距合差日；不满，退除为分秒，顺加退减太阳盈缩积，为距合差度。顺合者，盈加缩减其星定合泛积，为其星定合定积日及分秒；退合者，以距合差日盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积，为其星退定合定积日及分秒；命之，为退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒，加其星定合定积日及分秒，满旬周，去之，命甲子算外，即得定合日辰及分秒。

以天正冬至加时黄道日度及分秒，加其星定合定星度及分秒，满黄道宿次，去之，即得定合所躔黄道宿度及分秒。（径求五星合伏定日：木、火、土三星，以夜半黄道日度，减其星夜半黄道宿次，余在其日太阳行分已下，为其日伏合；金、水二星，以其星夜半黄道宿次，减夜半黄道日度，余在其日金、水二星行分已下者，为其日伏合。金、水二星伏退合者，视其日太阳夜半黄道宿次，未行到金、水二星宿次，又视次日太阳行过金、水二星宿次，金、水二星退行过太阳宿次，为其日定合伏退定日。

）

求木火土三星定见伏定积日

各置其星定见定伏泛积日及分秒，晨加夕减九十一日三十一分六秒，如在半岁周已下，自相乘，已上，反减岁周，余亦自相乘，满七十五，除之为分，满百为度，不满，退除为秒；以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒；见加伏减泛积，为其星定见伏定积日及分秒；加命如前，即得定见定伏日辰及分秒。

求金水二星定见伏定积日

各以伏见日行差，除其段初日太阳盈缩积，为日，不满，退除为分秒；若夕见晨伏，盈加缩减；如晨见夕伏，盈减缩加；以加减其星定见定伏泛积日及分秒，为常积。如在半岁周已下，为冬至后；已上，去之，余为夏至后。各在九十一日三十一分六秒已下，自相乘；已上，反减半岁周，亦自相乘。冬至后晨，夏至后夕，一十八而一，为分；冬至后夕，夏至后晨，七十五而一，为分；又以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，满行差，除之，为日，不满，退除为分秒，加减常积，为定积。

在晨见夕伏者，冬至后加之，夏至后减之；夕见晨伏者，冬至后减之，夏至后加之；为其星定见定伏定积日及分秒；加命如前，即得定见定伏日晨及分秒。

元史‧卷五十六 志第八 历五·元史‧卷五十六 志第八 历五

庚午元历上

演纪上元庚午，距太祖庚辰岁，积年二千二十七万五千二百七十算外，上考往古，每年减一算，下验将来，每年加一算。

步气朔术

日法，五千二百三十。

岁实，一百九十一万二百二十四。

通余，二万七千四百二十四。

朔实，一十五万四千四百四十五。

通闰，五万六千八百八十四。

岁策，三百六十五，余一千二百七十四。

朔策，二十九，余二千七百七十五。

气策，一十五，余一千一百四十二，秒六十。

望策，一十四，余四千二，秒四十五。

象策，七，余二千一，秒二十二半。

没限，四千八十七，秒三十。

朔虚分，二千四百五十五。

旬周，三十一万三千八百。

纪法，六十。

秒母，九十。

求天正冬至

置上元庚午以来积年，以岁实乘之，为通积分；满旬周，去之；不尽，以日法约之，为日，不盈为余；命壬戌算外，即得所求天正冬至大小余也。（先以里差加减通积分，然后求之。求里差术，具月离篇中。）

求次气

置天正冬至大小余，以气策及余累加之，秒盈秒母从分，分满日法从日，即得次气日及余分秒。

求天正经朔置通积分，满朔实去之，不尽，为闰余；以减通积分，为朔积分；满旬周，去之，不尽，如日法而一，为日，不尽，为余，即得所求天正经朔大小余也。

求弦望及次朔置天正经朔大小余，以象策累加之，即各得弦望及次朔经日及余秒也。

求没日

置有没之气恒气小余，如没限以上，为有没之气；以秒母乘之，内其秒，用减四十七万七千五百五十六；余，满六千八百五十六而一；所得，并入恒气大余内，命壬戌算外，即得为没日也。

求灭日

置有灭之朔小余，（经朔小余不满朔虚分者。）六因之，如四百九十一而一；所得，并经朔大余，命为灭日。

步卦候发敛术

候策，五，余三百八十，秒八十。

卦策，六，余四百五十七，秒六。

贞策，三，余二百二十八，秒四十八。

秒母，九十。

辰法，二千六百一十五。

半辰法，一千三百七半。

刻法，三百一十三，秒八十。

辰刻，八，分一百四，秒六十。

半辰刻，四，分五十二，秒三十。

秒母，一百。

求七十二候置节气大小余，命之为初候；以候策累加之，即得次候及末候也。

求六十四卦

置中气大小余，命之为公卦；以卦策累加之，得辟卦；又加，得侯内卦；以贞策加之，得节气之初，为侯外卦；又以贞策加之，得大夫卦；又以卦策加之，为卿卦也。

求土王用事以贞策减四季中气大小余，即得土王用事日也。

求发敛

置小余，以六因之，如辰法而一，为辰数；不尽，以刻法除为刻，命子正算外，即得加时所在辰刻分也。（如加半辰法，即命子初。）

求二十四气卦候

恒气 月中节

四正卦 初候

次候

末候

始卦

中卦

终卦

冬至 十一月中

坎初六 蚯蚓结

麋角解

水泉动

公中孚

辟复

侯屯内

小寒 十二月节

坎九二 雁北向

鹊始巢

野䴗始鸲

侯屯外

大夫谦

卿睽

大寒 十二月中

坎六三 ○始乳

鸷鸟厉疾

水泽腹坚

升

辟临

侯小过内

立春 正月节

坎六四 东风解冻

蛰虫始振

鱼上冰

侯小过外

大夫蒙

卿益

雨水 正月中

坎九五 獭祭鱼

鸿雁来

草木萌动

公渐

辟泰

侯需内

惊蛰 二月节

坎上六 桃始华

鸧鹒鸣

鹰化为鸠

侯需外

大夫随

卿晋

春分 二月中

震初九 玄鸟至

雷乃发声

始电

公解

辟大壮

侯豫内

清明 三月节

震六二 桐始华

田鼠化为𫛪

虹始见

侯豫外

大夫讼

卿蛊

谷雨 三月中

震六三 萍始生

鸣鸠拂其羽

戴胜降于桑

公革

辟夬

侯旅内

立夏 四月节

震九四 蝼啯鸣

蚯蚓出

王○生

侯旅外

大夫师

卿比

小满 四月中

震六五 苦菜秀

靡草死

小暑至

公小畜

辟干

侯大有内

芒种 五月节

震上六 螳螂生

鵙始鸣

反舌无声

侯大有外

大夫家人

卿井

夏至 五月中

离初九 鹿角解

蜩始鸣

半夏生

公咸

辟姤

侯鼎内

小暑 六月节

离六二 温风至

蟋蟀居壁

鹰乃学习

侯鼎外

大夫丰

卿涣

大暑 六月中

离九三 腐草化为萤

土润溽暑

大雨时行

公履

辟遁

侯恒内

立秋 七月节

离九四 凉风至

白露降

寒蝉鸣

侯恒外

大夫节

卿同人

处暑 七月中

离六五 鹰乃祭鸟

天地始肃

禾乃登

公损

辟否

侯巽内

白露 八月节

离上九 鸿雁来

玄鸟归